Скачать 1.4 Mb.
|
Построение модели. Обоснование экстремального принципа Приступим к непосредственному знакомству с нашей моделью. Разберем модель поиска оптимальной стратегии, которая описывает поведение зоопланктона. Пусть ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Коэффициент размножения – это разность между коэффициентом рождаемости и смертности. Коэффициент рождаемости – это количество рождений, приходящихся на одну особь в единицу времени. Коэффициент смертности – это количество смертей, приходящихся на одну особь в единицу времени. Пусть зоопланктон реализует стратегию изменения вертикальной координаты ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда коэффициент размножения особей реализации этой стратегии имеет вид ![]() Обозначим ![]() ![]() ![]() Предположим, в популяции с момента ![]() ![]() ![]() В теории вариационного исчисления, такая функция ![]() ![]() ![]() Обозначим ![]() ![]() ![]() Пусть динамика численностей ![]() ![]() ![]() Эта динамика соответствует гипотезам Ферхюльста и является обобщением модели Ферхюльста роста биомассы при условии наличия неоднородных компонент. В момент времени ![]() ![]() Рассмотрим динамику отношения величины ![]() ![]() Отсюда ![]() В силу периодичности функций ![]() ![]() ![]() Если ![]() то ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() Таким образом, с течением времени особи, реализующие стратегию ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда вытекает основной вариационный принцип – устойчивыми, реализующимися в действительности в течении длительного времени, будут только те стратегии, на которых интеграл от коэффициента размножения по периоду ![]()
Рассмотрим задачу определения оптимального режима суточных колебаний зоопланктона. Пусть x – вертикальная координата положения зоопланктона. В зависимости от x определяются условия размножения. Эти условия различаются по времени суток. Предположим, что коэффициент размножения в зависимости от x имеет вид ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где α > 0, β > 0, α + β = 1. Обратим внимание, что величина a определяется через свертку двух величин, влияющих на коэффициент размножения. Средний коэффициент размножения за период 2π будет выражаться следующим образом ![]() Задача состоит в том, чтобы найти кусочно-гладкую функцию x(t), на которой функционал принимает наибольшее значение. Данная задача эквивалентна задаче максимизации функционала ![]() В начальный момент времени координата x(0) может иметь любое значение, но в конечный момент времени координата x(2π) должна совпасть с x(0), иначе функцию x(t) невозможно непрерывно периодически продолжить. Это приводит к равенству ![]() Обозначим ![]() Тогда функционал (1) принимает вид ![]() Сведем задачу максимизации функционала (4) к задачи минимизации функционала ![]() Задача минимизации функционала (5) при условиях (2), (3) является частным случаем задачи оптимального управления, решение строится на основе применения принципа максимума Понтрягина. Для ее решения введем сопряженную функцию ψ(t), удовлетворяющую сопряженной системе ![]() и краевым условиям ![]() а также функцию Гамильтона ![]() Максимум функции Гамильтона достигается при ![]() ![]() Дифференцируя уравнение (8) по t и учитывая (6), приходим к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами ![]() где ![]() ![]() Из краевых условий (2) и (7) находим значение констант ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для дальнейшего развития модели учтем, что смена условий обитания зоопланктона в зависимости от дня и ночи может осуществляться более резко. Для отражения этого будем рассматривать другую функцию ![]() ![]() Взаимное расположение графиков функций наиболее благоприятного для размножения слоя воды приведено на рисунке 2. ![]() Рис. 2. Можно заметить, что увеличение числа q соответствует более резкой смене условий существования зоопланктона при переходе от дня к ночи и наоборот. |
![]() |
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией... Учебно-методическое пособие предназначено для организации активной самостоятельной работы студентов над учебным материалом при изучении... |
![]() |
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией... Методы молекулярной диагностики: Учебно-методическое пособие. Авторы: А. Д. Перенков, Д. В. Новиков, С. Г. Фомина, Л. Б. Луковникова,... |
![]() |
Ннгу, обучающихся по направлению подготовки 080800 «Прикладная информатика... Рекомендовано методической комиссией факультета вычислительной математики и кибернетики для студентов ннгу, обучающихся по направлению... |
![]() |
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный... |
![]() |
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией... А-64 Ангелова О. Ю., Дмитриева Е. М. Маркетинг. Рабочая тетрадь.– Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2014. – 97 с |
![]() |
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией... А-64 Ангелова О. Ю., Дмитриева Е. М. Маркетинг. Рабочая тетрадь.– Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2014. – 97 с |
![]() |
Руководство к решению задач часть II случайные величины учебно-методическое... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования |
![]() |
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией... Учебно-методическое пособие предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению 38. 03. 01 «Экономика» в Институте... |
![]() |
Пособие для преподавателей русского языка, ведущих занятия с иностранными... Рекомендовано методической комиссией филологического факультета для слушателей подготовительного отделения факультета иностранных... |
![]() |
Учебно-методическое пособие Казань 2010 Печатается по рекомендации... Учебно-методическое пособие по курсу «Организационное поведение» /Д. М. Сафина. – Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет;... |
![]() |
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре организации здравоохранения... ... |
![]() |
Метеорология и климатология Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета агробиологии и земельных ресурсов |
![]() |
Федеральное агентство по образованию сахалинский государственный университет Рассмотрена и рекомендована к утверждению Методической комиссией факультета математики, физики и информатики |
![]() |
Методическое пособие Самара, 2011 Методическое пособие обсуждено... Методическое пособие «Оформление делового письма» для преподавателей средних профессиональных образовательных учреждений |
![]() |
Учебно-методическое пособие к практическим занятиям по акушерству... Учебно-методическое пособие представлено кафедрой акушерства и гинекологии сгма в помощь студентам 6 курса лечебного факультета при... |
![]() |
Учебно-методическое пособие для бакалавров учетно-финансового факультета Краснодар Учебно-методическое пособие предназначено для работы в группах студентов 1 курса учетно-финансового факультета |
Поиск |